Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-e^x+1．
（I）求函数f（x）的最大值；
（II）已知0≤a＜b，求证：eb-a-1＞ln

b+1

a+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）构造函数G（x）=e^x-a-1-ln

x+1

a+1

，G'（x）=e^x-a-

1

x+1

，可得当x＞a≥0时，G'（x）＞0，所以G（x）单调递增，根据 G（b）＞G（a），即可证得结论．

解答：（Ⅰ）解：求导函数，f′(x)=

1

x+1

-ex，函数的定义域为（-1，+∞） 
∵-1＜x＜0时，f'（x）＞0；x＞0时，f'（x）＜0；
∴x=0是函数的极大值点，也是最大值点
∴函数f（x）的最大值为f（0）=0
（Ⅱ）证明：构造函数G（x）=e^x-a-1-ln

x+1

a+1

，G'（x）=e^x-a-

1

x+1

当x＞a≥0时，G′（x）＞0，所以G（x）单调递增，
又∵G（a）=0，
∴0≤a＜b，G（b）＞G（a）=0
∴e^b-a-1-ln

b+1

a+1

＞0，即eb-a-1＞ln

b+1

a+1

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查构造函数证明不等式，解题的关键是构建函数，正确求导．