Question

九连环是我国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．按照某种规则解开九连环，至少需要移动圆环a₉次．我们不妨考虑n个圆环的情况，用a_n表示解下n个圆环所需的最少移动次数，用b_n表示前（n-1）个圆环都已经解下后，再解第n个圆环所需的次数，按照某种规则可得：a₁=1，a₂=2，a_n=a_n-2+1+b_n-1，b₁=1，b_n=2b_n-1+1．
（1）求b_n的表达式；
（2）求a₉的值，并求出a_n的表达式；
（3）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由b_n=2b_n-1+1．可得b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，可得数列{b_n+1}是等比数列，即可得出；
（2）利用（1）及已知可得：，递推下去即可得出a₉．
当n是偶数时，
=…==2^n-1+2^n-3+…+2³+2，
当n是奇数时，=…==2^n-1+2^n-3+…+2²+1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出；
（3）利用放缩法可得：当n∈N^*时，=，即可得出．
解答：解：（1）由b_n=2b_n-1+1．可得b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，
∴数列{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，得．
（2）由已知，
∴+2⁸+2⁶+2⁴==341．
当n是偶数时，
=…=
=2^n-1+2^n-3+…+2³+2
==．
当n是奇数时，
=…=
=2^n-1+2^n-3+…+2²+1
=．
综上所述：．
（3）当n为偶数时，，当n为奇数时，．
∴当n∈N^*时，=，
∴…+=．
点评：熟练掌握分类讨论思想方法、变形利用等比数列的通项公式、前n项和公式等是解题的关键．