Question

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，首项a₁=1．
（Ⅰ）若，求S₅；
（Ⅱ）若数列{a_n}中存在两两互异的正整数m、n、p同时满足下列两个条件：①m+p=2n；②，求数列的通项a_n；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{a_n}，设（n∈N^*），集合T_n={b_i•b_j|1≤i≤j≤n，i，j∈N^*}，记集合T_n中所有元素之和B_n，试问：是否存在正整数n和正整数k，使得不等式成立？若存在，请求出所有n和k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵等差数列，∴S₃=a₁+a₂+a₃=3a₂，
又∵，∴，
∵S₁=a₁=1，∴，
∴，
∴a₂=3，则公差d=2，S₅=25．
（Ⅱ）∵等差数列{a_n}，∴设，
∵，
∴，
即=A（m+p）²+2B（m+p），
∴，
两边平方得，4（Am²+Bm）（Ap²+Bp）=4A²m²p²+4ABmp（m+p）+B²（m+p）²，
∴4B²mp=B²（m+p）²，
即B²（m-p）²=0，∵m≠p，∴B=0，又a₁=S₁=1，∴A=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，a₁=1适合，∴a_n=2n-1．
（Ⅲ），
则，
∴．
∵，，
∵，
∴b_n+1B_n+1-b_nB_n＜0，∴数列{b_nB_n}是递减数列，
由已知不等式得，，∵b_n+1B_n+1-b_nB_n＜0，
∴b_n+1B_n+1＜k＜b_nB_n．
又，，，∴当n≥3时，b_nB_n＜1，
∴当n=1时，k=2或3；当n=2时，k=1，
故存在正整数n、k使不等式成立，所有n和k的值为：n=1，k=2或3；n=2，k=1．
分析：（Ⅰ）由等差数列性质，知S₃=a₁+a₂+a₃=3a₂，由和首项a₁=1，得，由此能求出S₅．
（Ⅱ）设，由，导出，由此入手，能够求出a_n．
（Ⅲ）由，知．由此入手，能够推导出存在正整数n、k使不等式成立，并能求出所有n和k的值．
点评：本题考查数列的前n项和、数列的通项公式的求法．综合性强，难度大，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．