题目内容

3．如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30°方向的两条街道，某公园P位于商业中心北偏东θ角（0＜θ＜$\frac{π}{2}$，tanθ=3$\sqrt{3}$），且与商业中心O的距离为$\sqrt{21}$公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处，当商业中心O到A，B两处的距离之和最小时，A，B的距离为3$\sqrt{3}$公里．

分析 以O为原点，OA所在直线为x轴建立坐标系．设P（m，n），依题意可先求出P的坐标，设A（a，0），进而表示直线AB，OB的方程，从而可求出OA+OB，利用基本不等式，即可确定A，B的位置，最后利用余弦定理即可求解

解答 解：以O为原点，OA所在直线为x轴建立坐标系．设P（m，n），
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，tanθ=3$\sqrt{3}$
∴$cosθ=\frac{\sqrt{7}}{14}$，sin$θ=\frac{3\sqrt{21}}{14}$
则m=OPsinθ=$\sqrt{21}×\frac{3\sqrt{21}}{14}$=$\frac{9}{2}$，n=OPcos$θ=\sqrt{21}×\frac{\sqrt{7}}{14}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由题意可得，OB=2xB，直线OB的方程为y=$\sqrt{3}$x①
设A（a，0），则直线AB的方程：$y=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{9}{2}-a}（x-a）$②
联立①②可得，${x}_{B}=\frac{a}{2（a-4）}$=$\frac{2}{a-4}+\frac{1}{2}$
∴OA+OB=a+2xB=a+$\frac{2}{a-4}+\frac{1}{2}$=a-4+4+$\frac{4}{a-4}+1$=a-4+$\frac{4}{a-4}$+5≥2$\sqrt{（a-4）•\frac{4}{a-4}}+5$=9
当且仅当即a=6时取等号，此时OA=6，OB=3，
△OAB中，由余弦定理可得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}-2OA•OBcos60°}$
=$\sqrt{36+9-2×6×3×\frac{1}{2}}$=$3\sqrt{3}$
故答案为：$3\sqrt{3}$

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，属于中档题

练习册系列答案
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