Question

（2012•东城区一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率是

1

2

，其左、右顶点分别为A₁，A₂，B为短轴的端点，△A₁BA₂的面积为2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）F₂为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于A₁，A₂的任意一点，直线A₁P，A₂P与直线x=4分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线PF₂相切于点F₂．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆离心率是

1

2

，其左、右顶点分别为A₁，A₂，B为短轴的端点，△A₁BA₂的面积为2

3

，建立方程组，可求椭圆方程；
（Ⅱ）求出M、N的坐标，利用向量证明F₂M⊥F₂N，点F₂在以MN为直径的圆上，确定MN的中点E的坐标，利用向量证明F₂E⊥F₂P，即可证得以MN为直径的圆与直线PF₂相切于右焦点．

解答：（Ⅰ）解：由已知，可得

c a = 1 2 ab=2 3 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

．                         …（4分）
故所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．                                     …（5分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知A₁（-2，0），A₂（2，0），F₂（1，0）．
设P(x0，

y

0

)(x0≠±2)，则3

x

2 0

+4

y

2 0

=12．
于是直线A₁P方程为 y=

y0

x0+2

(x+2)，令x=4，得yM=

6y0

x0+2

；
所以M（4，

6y0

x0+2

），同理N（4，

2y0

x0-2

）．                        …（7分）
所以

F2M

=（3，

6y0

x0+2

），

F2N

=（3，

2y0

x0-2

）．
所以

F2M

•

F2N

=（3，

6y0

x0+2

）•（3，

2y0

x0-2

）=9+

6y0

x0+2

×

2y0

x0-2

=9+

12 y 2 0

x 2 0 -4

=9+

3(12-3 x 2 0 )

x 2 0 -4

=9-

9( x 2 0 -4)

x 2 0 -4

=9-9=0．
所以F₂M⊥F₂N，点F₂在以MN为直径的圆上．                        …（9分）
设MN的中点为E，则E（4，

4y0(x0-1)

x02-4

）．                             …（10分）
又

F2E

=（3，

4y0(x0-1)

x02-4

），

F2P

=(x0-1，y0)，
所以

F2E

•

F2P

=（3，

4y0(x0-1)

x02-4

）•(x0-1，y0)=3(x0-1)+

4 y 2 0 (x0-1)

x 2 0 -4

=3(x0-1)+

(12-3 x 2 0 )(x0-1)

x 2 0 -4

=3(x0-1)-3(x0-1)=0．
所以F₂E⊥F₂P．                                                    …（12分）
因为F₂E是以MN为直径的圆的半径，E为圆心，F₂E⊥F₂P，
故以MN为直径的圆与直线PF₂相切于右焦点．                           …（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点的坐标，利用向量的数量积证明垂直关系．