Question

已知数列{a_n}满足：a₁=3，，n∈N*，记。
(I)求证：数列{b_n}是等比数列；
(Ⅱ)若a_n≤t·4ⁿ对任意n∈N*恒成立，求t的取值范围；
(Ⅲ)记，求证：C₁·C₂·…· C_n＞。

Answer 1

（Ⅰ）证明：由，得
，      ①
，   ②
∴，即，且，
∴数列是首项为，公比为的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，
∴，
由得，
易知是关于n的减函数，
∴，解得：。
（Ⅲ）解：由，得，
∴，
∴，
下面用数学归纳法证明不等式：
若为正数，则（*）
1^o当n=2时，∵，
∴；
2^o假设当n=k(k≥2)时，不等式成立，即若x₁，x₂，……，x_k为正数，
则，
那么，
这就是说当n=k+1时不等式成立。
根据不等式（*）得：
，
∴。