Question

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4

2

，点E，F分别是PC，PA的中点，求二面角A-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析：以BP所在直线为z轴，BC所在直线y轴，建立空间直角坐标系，求出平面BEF的一个法向量

n1

=(0，1，-1)，
平面ABE的一个法向量

n2

=(x，y，z)，利用cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1 || n2 |

求出二面角A-BE-F的余弦值．

解答：解：如图，以BP所在直线为z轴，
BC所在直线y轴，建立空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A(4

2

，4

2

，0)，C(0，4

2

，0)，P(0，0，4

2

)，E(0，2

2

，2

2

)，F(2

2

，2

2

，2

2

)
∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC，
又AC⊥CB，∴AC⊥平面PBC，
∴AC⊥PC，∴EF⊥PC，
又BE⊥PC，∴PC⊥平面BEF．
而

PC

=(0，4

2

，-4

2

)，
所以平面BEF的一个法向量

n1

=(0，1，-1)，（4分）
设平面ABE的一个法向量

n2

=(x，y，z)，
则

n2 • BE =2 2 y+2 2 z=0 n2 • BA =4 2 x+4 2 y=0

，则x：y：z=1：-1：1
取x=1，则平面AEF的一个法向量

n2

=(1，-1，1)（8分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

- 6

3

，
∴二面角A-BE-F的平面角的余弦值为

6

3

（10分）

点评：本题考查空间线面关系、二面角的度量，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．