Question

（2013•济南一模）已知

m

=（2cosx+2

3

sinx，1），

n

=（cosx，-y），且

m

⊥

n

．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调增区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f（

A

2

）=3，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由数量积为0可得方程，由三角函数的公式化简可得f（x），再由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，可得单调递增区间；
（2）结合（1）可得f（

A

2

）=1+2sin（A+

π

6

）=3，进而可得A=

π

3

，由余弦定理可得bc=4，代入面积公式S=

1

2

bcsinA，计算可得答案．

解答：解：（1）由题意可得（2cosx+2

3

sinx）cosx-y=0，
即y=f（x）=（2cosx+2

3

sinx）cosx=2cos²x+2

3

sinxcosx
=1+cos2x+

3

sin2x=1+2sin（2x+

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
故f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
（2）由（1）可知f（x）=1+2sin（2x+

π

6

），
故f（

A

2

）=1+2sin（A+

π

6

）=3，解得sin（A+

π

6

）=1
故可得A+

π

6

=

π

2

，解得A=

π

3

，
由余弦定理可得2²=b²+c²-2bccosA，
化简可得4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=16-3bc，
解得bc=4，故△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×

3

2

=

3

点评：本题考查三角函数的性质和余弦定理的应用，涉及向量的垂直的判断，属基础题．