题目内容

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0））的图象与x轴有两个不同的交点，若f（c）=0，且0＜x＜c时，f（x）＞0
（1）证明： $数学公式$ 是f（x）=0的一个根
（2）试比较 $数学公式$ 与c的大小
（3）证明：-2＜b＜-1．

证明：（1）∵f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点，f（x）=0的两个根x₁，x₂满足 $\text{[math]}$ ，
又f（c）=0，不妨设x₁=c∴ $\text{[math]}$ ．
（2）假设 $\text{[math]}$
由0＜x＜c时，f（x）＞0，得 $\text{[math]}$ 矛盾∴ $\text{[math]}$
∵f（x）=0的两个根不相等
∴ $\text{[math]}$
（3）由（1）（2）知，函数图象与x轴的两个交点为（c，0），（ $\text{[math]}$ ，0），
∴对称轴在x=c与x= $\text{[math]}$ 之间，即c＜- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
即-2ac＞b＞-2，
从而：-2＜b＜-1．
分析：（1）由题意得c、 $\text{[math]}$ 是方程f（x）=0的两个根，
（2）欲比较 $\text{[math]}$ 与c的大小，利用反证法去证明 $\text{[math]}$ ＜c不可能，从而得到 $\text{[math]}$ ＞c；
（3）由（1）（2）知，函数图象与x轴的两个交点为（c，0），（ $\text{[math]}$ ，0），结合图象得：对称轴在x=c与x= $\text{[math]}$ 之间，从而得出结论．
点评：本题主要考查不等式的证明，有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明，我们可以间接的方法--反证法去证明，即通过否定原结论---导出矛盾---从而达到肯定原结论的目的．

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