Question

【题目】如图所示，面，点A在直线上的射影为，点B在直线上的射影为，连接，已知，

（Ⅰ）求四面体的体积

（Ⅱ）求二面角的余弦.

Answer 1

【答案】（1）体积V= （2）余弦值为

【解析】

【试题分析】（1）先依据题设条件推证并确定四面体的底面与高，再求底面面积与高的值，运用三棱锥的体积公式进行求解；（2）建立空间直角坐标系，先求两个平面的法向量，运用向量的数量积公式求出两法向量的夹角的余弦，然后借助二面角的平面角与两法向量的夹角之间的关系求解：

解：（1）如图，因，又，则，又，故；同理可知： ，所以， ，故四面体的体积；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，故；设平面的法向量为，则，令，故，故由向量的数量积公式可得，而，所以，由于两法向量所成的角与二面角的平面角互补，所以二面角的余弦值为。