Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，

Sn

n

) (n∈N*)均在直线y=x+

1

2

上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=3an+

1

2

，T_n是数列{b_n}的前n项和，试求T_n．

Answer 1

分析：（1）由点(n，

Sn

n

) (n∈N*)均在直线y=x+

1

2

上，代入可得S_n的表达式，进而根据a_n与S_n的关系（n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，n=1，a_n=S_n），得到数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）中数列{a_n}的通项公式结合bn=3an+

1

2

，求出数列{b_n}的首项和公式，代入等比数列前n项和公式可得答案．

解答：解：（1）依题意得，

Sn

n

=n+

1

2

，即Sn=n2+

1

2

n．…（2分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+

1

2

n)-[(n-1)2+

1

2

(n-1)]=2n-

1

2

；   …（5分）
当n=1时，a1=S1=12+

1

2

×1=

3

2

=2×1-

1

2

．…（6分）
所以an=2n-

1

2

 (n∈N*)．…（7分）
（2）由（1）得bn=3an+

1

2

=32n，…（8分）
由

bn+1

bn

=

32(n+1)

32n

=32=9，可知{b_n}为等比数列．…（10分）
由b1=32×1=9，…（11分）
故Tn=

9(1-9n)

1-9

=

9n+1-9

8

．…（13分）

点评：本题考查的知识点是数列求和，数列的函数特性，等差数列的通项公式，熟练掌握等比数列前n项和公式，a_n与S_n的关系（n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，n=1，a_n=S_n），是解答的关键．