Question

某服装制造商现有300m²的棉布料，900m²的羊毛料，和600m²的丝绸料．做一条大衣需要1m²的棉布料，5m²的羊毛料，1m²的丝绸料．做一条裤子需要1m²的棉布料，2m²的羊毛料，1m²的丝绸料．
（1）在此基础上生产这两种服装，列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域．
（2）若生产一条大衣的纯收益是120元，生产一条裤子的纯收益是80元，那么应采用哪种生产安排，该服装制造商能获得最大的纯收益；最大收益是多少？

Answer 1

分析：（1）设生产大衣x条，裤子y条，则根据条件建立不等式组，利用不等式组表示平面区域进行作图．
（2）设收益为z，建立目标函数z=120x+80y，然后利用线性规划进行求最值．

解答：解：（1）生产大衣x条，裤子y条，
则根据条件建立不等式组

x+y≤300 5x+2y≤900 x+y≤600

，作出不等式组对应的平面图象如图：
（2）设收益为z，则目标函数z=120x+80y，
则y=-

120

80

x+

z

80

=-

3

2

x+

z

80

，
平移直线y=-

3

2

x+

z

80

，由图象可知当直线y=-

3

2

x+

z

80

经过点B时，直线y=-

3

2

x+

z

80

的截距最大，此时z也最大，
由

x+y=300 5x+2y=900

，解得

x=100 y=200

，即B（100，200），
代入目标函数z=120x+80y得z=120×100+80×200=28000（元）．
即z的最大值为28000元．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用条件建立不等式组关系，利用数形结合，利用目标函数的几何意义是解决此类问题的关键．