Question

求证：

2

是无理数．

Answer 1

分析：利用反证法，假设

2

是有理数，不妨设

2

=

q

p

（p，q是互质的正整数）．可得2必是q的因数，所以可设q=2m（m为正整数），从而可知2又是p的因数，因此p，q有公因数2，这与p，q是互质的正整数相矛盾．从而问题得证．

解答：证明：假设

2

是有理数，不妨设

2

=

q

p

（p，q是互质的正整数）．
则

2

p=q⇒q²=2p²，故2必是q的因数．
于是可设q=2m（m为正整数），则2p²=4m²，即p²=2m²，故2又是p的因数．
因此p，q有公因数2，这与p，q是互质的正整数相矛盾．
这说明假设

2

是有理数不成立，故

2

是无理数．

点评：本题的考点是反证法，主要考查反证法的运用，解题的关键是利用反证法的证题步骤：反设，归谬，引出矛盾，从而下结论．