Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+4），当2≤x≤6时，f（x）=（

1

2

）^|x-m|+n，f（4）=31．
（1）求m，n的值；
（2）比较f（log₃m）与f（log₃n）的大小．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=f（x+4），可知4是函数f（x）的一个周期，则有f（2）=f（6）再由f（4）=31组成方程组求解．
（2）由（1）知，函数f（x）=(

1

2

)|x-4|+30，x∈[2，6]．表示出f（log₃m），f（log₃n）再利用函数的单调性比较．

解答：解：（1）因为函数f（x）在R上满足f（x）=f（x+4），
所以4是函数f（x）的一个周期．
可得f（2）=f（6），即

1

2

|2-m|+n=(

1

2

)|6-m|+n，①
又f（4）=31，

1

2

|4-m|+n=31，②
联立①②组成方程组解得m=4，n=30．
（2）由（1）知，函数f（x）=(

1

2

)|x-4|+30，x∈[2，6]．
因为1＜log₃4＜2，所以5＜log₃4+4＜6．
f（log₃m）=f（log₃4）=f（log₃4+4）
=

1

2

|log34+4-4|+30
=（

1

2

）^|log34|+30．
又因为3＜log₃30＜4，
f(log3n)=f(log330)=(

1

2

)|log330-4|+30
=(

1

2

)4-log330+30=(

1

2

)log3

81

30

+30.
因为log3

81

30

＜log34
?(

1

2

)log34＜(

1

2

)log3

81

30

?(

1

2

)log34+30＜(

1

2

)log3

81

30

+30.
所以f（log₃m）＜f（log₃n）．

点评：本题主要考查函数的周期性，单调性以及用方程思想参数的值．