题目内容

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ $数学公式$ ）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若 $数学公式$ ，求cosα的值．

解：（Ⅰ）由图象知A=1
f（x）的最小正周期T=4×（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=π，故ω= $\text{[math]}$ =2
将点（ $\text{[math]}$ ，1）代入f（x）的解析式得sin（ $\text{[math]}$ +φ）=1，
又|φ|＜ $\text{[math]}$ ，∴φ= $\text{[math]}$
故函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）

（Ⅱ）f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，即sin（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，注意到0＜a＜ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
所以cos（α+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
又cosα=[（α+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]=cos（α+ $\text{[math]}$ ）cos $\text{[math]}$ +sin（α+ $\text{[math]}$ ）sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（I）观察图象可得函数的最值为1，且函数先出现最大值可得A=1；函数的周期T=π，结合周期公式T= $\text{[math]}$ 可求ω；由函数的图象过（ $\text{[math]}$ ）代入可得φ
（II）由（I）可得f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ），从而由f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，代入整理可得sin（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，结合已知0＜a＜ $\text{[math]}$ ，可得cos（α+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．，利用 $\text{[math]}$ ，代入两角差的余弦公式可求
点评：本题主要考查了（i）由三角函数的图象求解函数的解析式，其步骤一般是：由函数的最值求解A，（但要判断是先出现最大值或是最小值，从而判断A的正负号）由周期求解ω= $\text{[math]}$ ，由函数图象上的点（一般用最值点）代入求解φ；
（ii）三角函数的同角平方关系，两角差的余弦公式，及求值中的拆角的技巧，要掌握常见的拆角技巧：①2α=（α+β）+（α-β）②2β=（α+β）-（α-β）③α=（α+β）-β④β=（α+β）-α