Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=

3

，AA1=

6

，M为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁
（1）求二面角B-AM-C；
（2）求点C到平面ABM的距离．

Answer 1

分析：（1）设AM与A₁C交于H，证出AM⊥面BCA₁，得出∠BHC为二面角B-AM-C的平面角，得出△BCH为等腰直角三角形，∠BHC=45°
（2）在ABC 中，作CD⊥AB于D，连接 DM，在△MCD中，作 CO⊥MD，则CO⊥面 MAB，CO为点C到平面ABM的距离，在△MDC中求CO即可．

解答：解：（1）由直三棱柱得性质，侧面A₁C⊥底面ABC，BC⊥AC，BC⊥面A₁C，∴BC⊥AM，又AM⊥BA₁
∴AM⊥面BCA₁，垂足为H，AH⊥CH．连接BH，BH?面BCA₁，∴AM⊥BH，∠BHC为二面角B-AM-C的平面角．在直角三角形A1AC中，A₁C=3，由直角三角形射影定理，得出CH=1，又CB=1，∴△BCH为等腰直角三角形，∠BHC=45°，二面角B-AM-C大小为45°．
（2）在ABC 中，作CD⊥AB于D，连接 DM，则 AB⊥面MCD，AB?面 MAB，∴面 MAB面⊥面 MCD   且交线为 MD，在△MCD中，作 CO⊥MD，则CO⊥面 MAB，CO为点C到平面ABM的距离．
由△CMO∽△A1AO，得出MC=

6

2

，又CD=

3

2

，由勾股定理得MD=

3

2

，利用等面积法：MD×CO=MC×CD，∴CO=

2

2

，即点C到平面ABM的距离是

2

2

．

点评：本题考查二面角的计算，空间距离的计算，线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．