Question

下列命题中，真命题是（ ）
A．?x∈R，使得sinx+cosx=1.5
B．，使得sinx＞cos
C．?x∈R，使得x²+x=-1
D．?x∈（0，+∞），使得e^x＞1+

Answer 1

【答案】分析：根据正弦型函数的值域，我们可以判定A的真假；根据正弦函数、余弦函数的图象与性质，我们可以判断B的真假；根据二次函数的性质，我们可以判断C的真假；根据导数工具，可以判断D的真假，进而得到答案．
解答：解：∵sinx+cosx=sin（x+）∈[-，]，而1.5＞，故A错误；
当x∈（0，]时，sinx≤cosx，故B错误；
当x²+x=-1时，x²+x+1=0，但其△=1-4=-3＜0．故C不正确；
对于D：设f（x）=e^x-x-1，则f′（x）=e^x-1，
∴当x=0时，f′（x）=0，f（x）=0．
当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）=0．
∴对x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，
∴e^x＞x+1．故D正确；
故选D．
点评：本题考查的知识点是正弦型函数的值域，正弦型函数的单调性，不等式的性质，全称命题和特特命题，如何判断全（特）称命题的真假，是解答本题的关键．