题目内容

已知：函数f（x）=2sin（x- $数学公式$ ）
（1）求函数f（x）在 $数学公式$ 时的值域；
（2）求函数f（x）在 $数学公式$ 时的单调区间．

解：∵ $\text{[math]}$ ，∴x- $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$
（1）∵当x= $\text{[math]}$ 时，x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴当x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）=2sin（x- $\text{[math]}$ ）有最大值为2
∵f（- $\text{[math]}$ ）=2sin（- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ，f（π）=2sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴函数f（x）在 $\text{[math]}$ 时的最小值为f（- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ，
综上所述，可得函数f（x）在 $\text{[math]}$ 时的值域为[- $\text{[math]}$ ，2]；
（2）∵ $\text{[math]}$ 时，t=x- $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，y=sint在[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]是关于t的增函数，
∴f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上是增函数
而 $\text{[math]}$ 时，t=x- $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，y=sint在[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]是关于t的减函数，
∴f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上是减函数．
分析：（1）当 $\text{[math]}$ 时，x- $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ．结合正弦函数的图象与性质，可得当x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）的最大值为2，当x=- $\text{[math]}$ 时有最小值为- $\text{[math]}$ ，由此即可得到函数f（x）在 $\text{[math]}$ 时的值域；
（2）令t=x- $\text{[math]}$ ，根据已知条件得t∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，结合y=sint在∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的单调区间，即可得到f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的单调性，得到本题答案．
点评：本题给出三角函数f（x）=2sin（x- $\text{[math]}$ ），求函数在区间 $\text{[math]}$ 上的单调性与值域．着重考查了正弦函数的图象与性质的知识，属于基础题．