Question

【题目】已知a＜﹣1，函数f（x）=|x3﹣1|+x3+ax（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知存在实数m，n（m＜n≤1），对任意t0∈（m，n），总存在两个不同的t1 ， t2∈（1，+∞），
使得f（t0）﹣2=f（t1）=f（t2），求证： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） ，

记 ，

则f2′（x）=6x2+a，

因为 a＜﹣1则由f2′（x）=0可得x=± ，

（i） ，f1（x）在（﹣∞，1）上递减，

f2（x）在[1，+∞）上递增，

所以[f（x）]min=f（1）=a+1；

（ii） ，f1（x）在（﹣∞，1）上递减， ，

所以 ．

综上， ；

（Ⅱ）证明：不妨设t1＜t2，则由（1）知，若﹣6≤a＜﹣1，则f2（x）在（1，+∞）上递增，

不满足题意，所以a＜﹣6．

所以 ，且 ，

（i）a+1﹣2＞ ，即

即 ，解得 ，即 ，

所以 ，所以 ，

所以 ；

（ii）a+1﹣2≤ ，即 ，

即 ，解得 ，

所以 ，所以m≥1+ ，n≤ ，

所以n﹣m≤ ﹣1﹣

令 =u∈（1， ]，则 ﹣1﹣ = u﹣1+ ，

令φ（u）= u﹣1+ ，则 ，

所以φ（u）= u﹣1+ 在u∈（1， ]递增，

所以φ（u）≤φ（ ）= ，所以n﹣m≤φ（u）≤

【解析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x），讨论 ， ，判断单调性，即可得到所求最小值；（Ⅱ）不妨设t1＜t2，则由（1）知，若﹣6≤a＜﹣1，则f2（x）在（1，+∞）上递增，不满足题意，所以a＜﹣6．讨论（i）a+1﹣2＞ ，（ii）a+1﹣2≤ ，运用不等式的性质，求出n﹣m的不等式，即可得到证明．
【考点精析】利用函数的最值及其几何意义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．