Question

已知函数f（x）=

1

1+x2

，试判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：设0＜x₁＜x₂，化简 f（x₁）-f（x₂）的解析式为-

(x1+x2)(x1-x2)

(1+x12)(1+x22)

＞0，根据函数单调性的定义可得函数在（0，+∞）上的单调递减．

解答：解：函数f（x）=

1

1+x2

在（0，+∞）上的单调递减．
证明：设0＜x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

1

1+x12

-

1

1+x22

=

x22-x12

(1+x12)(1+x22)

=

(x1+x2)(x2-x1)

(1+x12)(1+x22)

，
而由0＜x₁＜x₂ 可得 x₂+x₁＞0，x₂-x₁＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，
∴

(x1+x2)(x2-x1)

(1+x12)(1+x22)

＞0，故 f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）=

1

1+x2

在（0，+∞）上的单调递减．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明方法，属于中档题．