Question

设函数f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的s，t∈[1，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，最后用直线的斜截式表示即可；
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等价于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，先求导数，研究函数的极值点，通过比较与端点的大小从而确定出最大值和最小值，从而求出[g（x₁）-g（x₂）]_max，求出M的范围；
（3）问题等价于当x∈[1，2]时，f（x）≥g（x）_max，可转化为a≥x-x²lnx恒成立，令h（x）=x-x²lnx，利用导数研究h（x）的最大值即可求出参数a的范围．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=

2

x

+xlnx，f′（x）=-

2

x2

+lnx+1，f（1）=2，f′（1）=-1，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-2=-（x-1），即y=-x+3；
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，等价于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≥M，
考察g（x）=x³-x²-3，g′（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

），
当0≤x＜

2

3

时，g′（x）≤0，g（x）递减；当

2

3

＜x≤2时，g′（x）＞0，g（x）递增；
所以g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1，[g（x₁）-g（x₂）]_max=g（x）_max-g（x）_min=

112

27

，
所以M≤

112

27

，所以满足条件的最大整数M=4；
（3）当对任意的s，t∈[1，2]，都有f（s）≥g（t）成立，
等价于对任意x∈[1，2]时，f（x）≥g（x）_max，即

a

x

+xlnx≥1，
所以a≥x-x²lnx，
令h（x）=x-x²lnx，则h′（x）=1-2xlnx-x，h′（1）=0，
令m（x）=1-2xlnx-x，m′（x）=-3-2lnx＜0，
所以m（x）在[1，2]上递减，m（x）≤m（1）=0，即h′（x）≤0，
所以h（x）在[1，2]上递减，故h（x）≤h（1）=1，
所以a≥1

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了划归与转化的思想，属于中档题．