Question

【题目】已知函数.

(1)若函数的图象在点处的切线方程为,求的值；

(2)当时,在区间上至少存在一个,使得成立,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）根据导数的意义，在的切线方程斜率即为，从而得到

n-m=3；又因为切点在直线上，所以。而切点又在曲线方程上，可以得到，所以。

（2）根据函数至少存在一个,使得成立,所以可以根据导函数正负的讨论确定函数的单调性；再在各自单调区间内分析函数的单调性，这样就可以得到，从而确定m的取值范围。

详解:(1)因为,所以,即.

又因为,所以切点坐标为,

因为切点在直线上,所以.

(2)因为,所以 .

当时, ,所以函数在上单调递增,令,此时,符合题意；

当时,令,则,则函数在上单调递减,在上单调递增.

①当,即时,则函数在上单调递减,在上单调递增

,解得.

②当,即时,函数在区间上单调递减,则函数在区间上的最小值为,解得,无解.

综上，，即得取值范围是.