题目内容

已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）记函数g（x）=10f（x）+3x，求函数g（x）的值域．
分析：（1）由题意得，x应满足：
2+x＞0
2-x＞0
，由此解得x的范围，即为函数f（x）的定义域．
（2）由题意得g（x）=-x2+3x+4（-2＜x＜2）为二次函数，对称轴为 x=
3
2
，故最大值为g(
3
2
)=
25
4
，在闭区间
[-2，2]上，g（x）的最小值为 g（-2）=-6，由此求得函数g（x）在定义域（-2，2）上的值域．
解答：解：（1）由题意得，x应满足：
2+x＞0
2-x＞0
，解得-2＜x＜2，所以f（x）的定义域为（-2，2）．
（2）由于g（x）=10f（x）+3x，得g（x）=-x2+3x+4（-2＜x＜2）为二次函数，对称轴为 x=
3
2
，故最大值为g(
3
2
)=
25
4
，
在闭区间[-2，2]上，最小值为 g（-2）=-6．
故在定义域（-2，2）上，函数g（x）的值域为 (-6，
25
4
]．
点评：本题主要考查对数函数的定义域，二次函数的性质的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
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已知函数f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数f（x）图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x0=
x1+x2
2
时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn，则S2012的值为（　　）
已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．
已知函数f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，
6
）上单调递减，在（
6
，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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