题目内容
已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}对任意正整数n，均有
+
+
+…+
=an+1，求数列{cn}的通项公式并计算c1+c2+c3+…+c2012的值．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}对任意正整数n，均有
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| c3 |
| b3 |
| cn |
| bn |
分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由a2，a5，a14成等比数列可得关于d的方程，解出d，根据等差数列的通项公式可求得an，易求b2，b3，从而可得公比，根据等比数列的通项公式可求得bn；
（Ⅱ）由
+
+
+…+
=an+1，得
+
+
+…+
=an（n≥2），两式相减可求得cn，注意检验n=1时的情形，然后根据等比数列的求和公式可求得答案．
（Ⅱ）由
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| c3 |
| b3 |
| cn |
| bn |
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| c3 |
| b3 |
| cn-1 |
| bn-1 |
解答：解：（I）设等差数列的公差为d，
由a2，a5，a14成等比数列，可得(a5)2=a2•a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），
解得d=2，
∴an=1+（n-1）×2=2n-1，
又等比数列{bn}中b2=a2=3，b3=a5=9，
∴公比为3，∴bn=3•3n-2=3n-1，
∴bn=3n-1；
（ II）由
+
+
+…+
=an+1，得
+
+
+…+
=an（n≥2），
两式相减得：
=an+1-an=2，
∴cn=2bn=2•3n-1，n≥2，
n=1时，c1=a2•b1=3，
∴cn=
，
∴c1+c2+c3+…+c2012=3+2(3+32+…+32011)
=3+2×
=32012．
由a2，a5，a14成等比数列，可得(a5)2=a2•a14，即（1+4d）2=（1+d）（1+13d），
解得d=2，
∴an=1+（n-1）×2=2n-1，
又等比数列{bn}中b2=a2=3，b3=a5=9，
∴公比为3，∴bn=3•3n-2=3n-1，
∴bn=3n-1；
（ II）由
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| c3 |
| b3 |
| cn |
| bn |
| c1 |
| b1 |
| c2 |
| b2 |
| c3 |
| b3 |
| cn-1 |
| bn-1 |
两式相减得：
| cn |
| bn |
∴cn=2bn=2•3n-1，n≥2，
n=1时，c1=a2•b1=3，
∴cn=
|
∴c1+c2+c3+…+c2012=3+2(3+32+…+32011)
=3+2×
| 3(1-32011) |
| 1-3 |
点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式及数列求和，属中档题，熟记相关公式是解决问题的基础．
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