题目内容

记数列{a_n}的前n项和为S_n，所有奇数项之和为S′，所有偶数项之和为S″．
（1）若{a_n}是等差数列，项数n为偶数，首项a₁=1，公差 $数学公式$ ，且S″-S′=15，求S_n；
（2）若{a_n}是等差数列，首项a₁＞0，公差d∈N^，且S′=36，S″=27，请写出所有满足条件的数列；
（3）若数列{a_n}的首项a₁=1，满足2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^），其中实常数 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列．

解：（1）若数列{a_n}项数n为偶数，由已知，得S″- $\text{[math]}$ ，（2分）
解得n=20，（1分）
$\text{[math]}$ ．（1分）
（2）假设数列{a_n}项数n为偶数，S″- $\text{[math]}$ 与S″-S′=-9矛盾．故数列{a_n}项数n不为偶数，（1分）
设数列{a_n}项数n=2k+1（k∈N），
则 $\text{[math]}$
∵a₁+a_2k+1=a₂+a_2k，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得k=3，项数n=2×3+1=7，（2分）
∵ $\text{[math]}$ ，
∴a₁+3d=9，
∵a₁=9-3d＞0，
∴d＜3．又d∈N^*，所以，d=1或d=2．
当d=1时，a₁=6，此时，a_n=6+（n-1）•1=n+5，
所以，该数列为：6，7，8，9，10，11，12．（2分）
当d=2时，a₁=3，此时，a_n=3+（n-1）•2=2n+1
所以，该数列为：3，5，7，9，11，13，15．（2分）
（3）在2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*）中，令n=1，得 $\text{[math]}$ ．
∵2tS_n+1-3（t-1）S_n=2t（n∈N^*）①
可得2tS_n-3（t-1）S_n-1=2t（n∈N^*，n＞1）②
①减去②得： $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．（2分）
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．（当t=1时，数列为1，0，0…，显然不合题意）
所以，{a_n}是首项a₁=1，公比 $\text{[math]}$ 的等比数列，且公比0＜|q|＜1．（2分）
设项数n=3，∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （舍）
由 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
所以，当 $\text{[math]}$ 时，对应的数列为 $\text{[math]}$ ．（2分）
设数列{a_n}为无穷数列，
由题意，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
所以，当 $\text{[math]}$ 时，对应的数列为 $\text{[math]}$ （2分）
分析：（1）{a_n}是等差数列，则S″-S′=（a₂-a₁）+（a₄-a₃）…（a_2n-a_2n-1）=d+d+…d=d× $\text{[math]}$ 求出n，再利用等差数列前n项和公式计算
（2）{a_n}是等差数列，根据条件，结合（1）判断n是奇数．利用等差数列性质和求和公式，得出 $\text{[math]}$ ，
得出项数，继而分类写出满足条件的数列．
（3）根据Sn与an的固有关系an= $\text{[math]}$ ，得出 $\text{[math]}$ ，借助于等比数列性质解决．
点评：本题考查等差数列前n项和公式及其应用，转化代换的方法．等比数列判定，分类讨论、计算能力．