Question

一个几何体的三视图如图所示．
（Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；
（Ⅱ）求这个几何体的表面积；
（Ⅲ）设异面直线AA'与BC'所成的角为θ，求cosθ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据几何体的三视图判断该几何体的形状，就可画出直观图．
（Ⅱ）由几何体的三视图可判断这个几何体是直三棱柱，所以体积是底面积乘高．根据三视图中所给数据，就可求出底面三角形的面积和高，进而求出体积．
（Ⅲ）因为AA'∥BB'，所以AA'与BC'所成的角是∠B'BC'，然后在三角形BB'C'中计算此角的余弦值即可

解答：解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示
（Ⅱ）这个几何体是直三棱柱．
由于底面△ABC的高为1，所以AC=BC=

12+12

=

2

，
BB′=CC′=AA′=3
故所求全面积S=2S_△ABC+2S_BB'C'C+S_ABB′A′=2×

1

2

×2×1+3×2+2×3×

2

=8+6

2

（cm²）
（Ⅲ）因为AA'∥BB'，所以AA'与BC'所成的角是∠B'BC'．
在Rt△BB'C'中，BC′=

BB′2+B′C′2

=

32+22

=

13

，
故cosθ=

BB′

BC′

=

3

13

=

3

13

13

点评：本题考察了三视图、直观图的特点及其画法，直三棱柱体积的计算，空间线线角的求法，需要有较强的空间想象力