Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，满足a≤

2

b，若椭圆的离心率为e，则e2+

1

e2

的最小值（　　）

• A．

  7

  2

• B．

  5

  2

• C．3
• D．4

Answer 1

分析：先由a≤

2

b，及a²=b²+c²，求得椭圆离心率的范围，再利用换元法将函数y=e2+

1

e2

转化为函数y=t+

1

t

（0＜t≤

1

2

），最后利用导数判断此函数的单调性，求出函数的最小值

解答：解：∵a≤

2

b，∴a²≤2b²，∴a²≤2（a²-c²），即a²≥2c²，∴0＜e²≤

1

2

设t=e²，则y=e2+

1

e2

=t+

1

t

 （0＜t≤

1

2

）
∵y′（t）=1-

1

t2

＜0，
∴y=t+

1

t

（0＜t≤

1

2

）为（0，

1

2

]上的减函数
∴y≥

1

2

+

1

1 2

=

5

2

，即e2+

1

e2

的最小值为

5

2

故选B

点评：本题考察了椭圆的几何性质离心率的求法，考察了特殊函数的单调性和最值的求法，注意本题的函数y=t+

1

t

（0＜t≤

1

2

）不适合用均值定理求最值