Question

（2013•枣庄一模）如图所示的几何体中，ABCD是等腰梯形，AB∥CD，ACFE是矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，AD=DC=CB=CF=a，∠ACB=

π

2

．
（1）若M∈EF，AM∥平面BDF，求EM的长度；
（2）求二面角B-EF-C的平面角θ的大小．

Answer 1

分析：（1）设AC∩BD=0，连结OF，利用平行线的性质结合等腰梯形的性质，证出∠CB0=∠DAC=

1

2

∠CBA，结合∠ACB=90°利用三角形内角和定理，算出∠CB0=30°，从而Rt△OCB中算出OC=BCtan30°=

3

3

a．由线面平行的性质定理证出AM∥OF，结合矩形ACFE中AC=EF，可得EM=OC=

3

3

a；
（2）以C为原点，CA、CB、CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．得到B、C、E、F各点的坐标，从而得到向量

BF

、

BE

的坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出

m

=（0，1，1）为平面BEF的一个法向量，结合平面EFC的一个法向量为

n

=（0，1，0），利用空间向量的夹角公式即可算出二面角B-EF-C的平面角θ的大小．

解答：解：（1）设AC∩BD=0，连结OF
∵等腰梯形ABCD中，DA=DC，∴∠DAC=∠DCA
∵AB∥CD，∴∠CAB=∠DCA，可得∠DAC=∠CAB．同理可证∠CB0=∠AB0
∵等腰梯形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∴∠CB0=∠DAC=

1

2

∠CBA
又∵∠DCA+∠ACB+∠CBA=180°，∠ACB=90°
∴3∠CB0=90°，得∠CB0=30°
Rt△OCB中，BC=a，可得OC=BCtan30°=

3

3

a
∵AM∥平面BDF，AM?平面ACEF，平面BDF∩平面ACEF=OF，∴AM∥OF
∵四边形ACFE是矩形，可得AC=EF，∴EM=OC=

3

3

a；
（2）以C为原点，CA、CB、CF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
可得C（0，0，0），B（0，a，0），F（0，0，a），E（

3

a，0，a），
设平面BEF的一个法向量为

m

=（x，y，z），可得

m • BF =-ay+az=0 m • BE = 3 ax-ay+az=0

，
取y=1，得x=0，z=1，可得

m

=（0，1，1）为平面BEF的一个法向量．
∵平面EFC的一个法向量为

n

=（0，1，0），且cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

2

∴二面角B-EF-C的平面角θ满足|cosθ|=

2

2

，
结合二面角B-EF-C是一个锐二面角，可得θ=45°．

点评：本题给出底面为等腰梯形且一个侧面与底面垂直的多面体，求二面角的大小．着重考查了线面平行的性质定理、等腰梯形的性质和利用空间向量求二面角的大小等知识，属于中档题．