题目内容
用α，β，γ三个字母组成一个长度为n+1（n∈N*）个字母的字符串，要求由α开始，相邻两个字母不同．例如n=1时，排出的字符串可能是αβ或αγ；n=2时排出的字符串可能是αβα，αβγ，αγα，αγβ（如图）．若记这种n+1个字符串中，排在最后一个的字母仍是α的所有字符串的种数为an，可知，a1=0，a2=2；则a4=分析：将递推公式为an+1=pan+qn的数列转化
=
+
，在转化成an+1-t=s（an-t），再利用换元法转化为等比数列求解．
| an+1 |
| qn+1 |
| p |
| q |
| an |
| qn |
| 1 |
| q |
解答：解：由树形图得an+1=2n-an
∴
=-
•
+
∴
-
=-
•（
-
）
∴
-
=（-
）•(-
)n-1
∴an=
•2n-
•(-1)n-1
∴数列{an}的前2n项之和a1+a2+a3+…+a2n=
(2+22+23+…+22n)-
(1-1+1-1+…+1-1)
=
(2+22+23+…+22n)=
(22n-1)=
故答案为：
∴
| an+1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2 |
| an |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
∴
| an+1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| an |
| 2n |
| 1 |
| 3 |
∴
| an |
| 2n |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴an=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴数列{an}的前2n项之和a1+a2+a3+…+a2n=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2(4n-1) |
| 3 |
故答案为：
| 2(4n-1) |
| 3 |
点评：利用待定系数法，构造等差等比数列求通项．
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