Question

已知三点P（1，2），Q（2，1），R（3，2），过原点作一直线，使得点P，Q，R到此直线的距离的平方和最小，求此直线方程．

Answer 1

分析：①当直线的斜率存在时，由题意，可设所求直线方程为y=kx，利用点到直线的距离公式可得点P，Q，R到直线的距离平方和t=

(k-2)2

k2+1

+

(2k-1)2

k2+1

+

(3k-2)2

k2+1

，即（t-14）k²+20k+（t-9）=0，对t分类讨论；即可得出t的最小值；
②当直线的斜率不存在时，直线为y轴，3点到y轴的距离的平方和为14，不是最小值．

解答：解：①当直线的斜率存在时，由题意，可设所求直线方程为y=kx，
设点P，Q，R到直线的距离平方和为t，则t=

(k-2)2

k2+1

+

(2k-1)2

k2+1

+

(3k-2)2

k2+1

=

14k2-20k+9

k2+1

，即（t-14）k²+20k+（t-9）=0，
当t=14时，k=-

1

4

；当t≠14时，由△≥0，可得

23-5 17

2

≤t≤

23+5 17

2

．
②当直线的斜率不存在时，直线为y轴，3点到y轴的距离的平方和为14，不是最小值．
综上可知：t的最小值为

23-5 17

2

，此时k=

-1+ 17

4

．
故直线的方程为y=

17 -1

4

x．

点评：熟练掌握直线的方程、点到直线的距离公式、一元二次方程与判别式的关系、分类讨论的思想方法等是解题的关键．