Question

（2012•吉安二模）四棱锥P-ABCD中，PA上平面ABCD，E为AD的中点，四边形ABCE为菱形，∠BAD=120°，PA=AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足

PF

PB

=

CG

CE

=λ∈(0，1)．
（1）求证：FG∥平面PDC；
（2）求λ的值，使得二面角F-CD-G的平面角的正切值为

2

3

．

Answer 1

分析：法一：（1）以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，不妨设PA=2，用坐标表示点与向量，求得平面PDC的法向量

n0

=(

3

，1，2)，证明

n0

•

FG

=0，即可证明FG∥平面PCD
（2）求出平面PCD的法向量

n1

=(

3

(1-λ)，1-λ，2-λ)，cosθ=

3

13

，利用向量的夹角公式建立方程，即可求得结论；
法二：（1）延长BG交CD于Q，连PQ，BE，证明FG∥PQ，即可证得FG∥平面PCD；
（2）作FM⊥AB于M，作MN⊥CD于N，连FN，则FN⊥CD，∠FNM为二面角F-CD-G的平面角，利用二面角F-CD-G的平面角的正切值为

2

3

，即可求得结论．

解答：法一：（1）证明：如图以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，不妨
设PA=2，
则A（0，0，0），P（0，0，2），B（

3

，-1.0），C（

3

，1，0），D（0，4，0）．
由

PF

PB

=

CG

CE

=λ，得F（

3

λ，-λ，2-2λ），G（

3

-

3

λ，1+λ，0），

FG

=（-2

3

λ+

3

，1+2λ，-2+2λ），
设平面PCD的法向量

n0

=(x，y，z)，则由

n0

•

PC

=0，

n0

•

PD

=0，
可得

3 x+y-2z=0 4y-2z=0

，取

n0

=(

3

，1，2)
∴

n0

•

FG

=0，∴

n0

⊥

FG

∵FG?平面PDC，∴FG∥平面PCD
（2）解：

FC

=(

3

-

3

λ，1+λ，-2+2λ)，

CD

=(-

3

，3，0)
设平面PCD的法向量为

n1

=(x′，y′，z′)，则由

n1

•

FC

=0，

n1

•

CD

=0
∴

( 3 - 3 λ)x′+(1+λ)y′+(-2+2λ)z′=0 - 3 x′+3y′=0

，可取

n1

=(

3

(1-λ)，1-λ，2-λ)
∵tanθ=

2

3

，∴cosθ=

3

13

∵

n2

=(0，0，1)为平面GCD的法向量
∴|cosθ|=|

n1 • n2

| n1 || n2 |

|=

3

13

∴8λ²-14λ+5=0，∴λ=

1

2

或λ=

5

4

（舍去）
∴λ=

1

2

法二：（1）证明：延长BG交CD于Q，连PQ，BE，平行四边形BEDC，则BE∥CQ，∴

CG

GE

=

QG

GB

．
 又∵PF：FB=CG：GE，则QG：GB=PF：FB，∴FG∥PQ．
∵FG?平面PCD，PQ?平面PCD．
∴FG∥平面PCD
（2）解：作FM⊥AB于M，作MN⊥CD于N，连FN，则FN⊥CD，∴∠FNM为二面角F-CD-G的平面角．

FM

PA

=

FB

PB

=1-λ，不妨设PA=2，则FM=2（1-λ）=BM，MN=2-λ．
由tan∠FNM=

FM

MN

得

2

3

=

2(1-λ)

2-λ

，即λ=

1

2

．

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，属于中档题．