题目内容

已知过点（2，3）作圆C：x²+y²-2x+4y+4=0 的切线，
（1）求圆心C的坐标和半径长；
（2）求切线方程．

解：（1）圆C：x²+y²-2x+4y+4=0化成标准方程得
（x-1）²+（y+2）²=1，可得圆C表示以（1，-2）为圆心，以1为半径的圆．
∴圆心C坐标为（1，-2）和半径r=1
（2）当过点（2，3）的直线x轴垂直时，经验证可得直线与圆C相切
此时切线方程为x=2，符合题意；
当过点（2，3）的直线与x轴不垂直时，设方程为y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0
∵直线与圆C相切，
∴直线到圆心的距离d= $\text{[math]}$ =1，解之得k= $\text{[math]}$
此时切线的方程为12x-5y-9=0
综上所述，得所求切线方程为x=2或12x-5y-9=0．
分析：（1）运用配方的方法，将圆C方程化成标准形式，即可得到圆心C坐标和半径长；
（2）分情况加以讨论，根据切线到圆的距离等于半径建立关系式，即可得到所求切线方程为x=2或12x-5y-9=0．
点评：本题给出定点与圆C，求过定点与圆C相切的直线方程，着重考查了圆的一般方程与标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．