Question

已知曲线C₁的极坐标方程是ρ=

2

，曲线C₂的参数方程是

x=1 y=2tsinθ+ 1 2

(t＞0，θ∈[

π

6

，

π

2

]，θ是参数）．
（1）写出曲线C₁的直角坐标方程和曲线C₂的普通方程；
（2）求t的取值范围，使得C₁，C₂没有公共点．

Answer 1

分析：（1）把曲线C₁的极坐标方程化为直角坐标方程是x²+y²=2，把曲线C₂的参数方程化为普通方程是x=1(t+

1

2

≤y≤2t+

1

2

)．
（2）结合图象，根据直线和圆的位置关系可得，当且仅当

t＞0 t+ 1 2 ＞1

或

t＞0 2t+ 1 2 ＜1

时，C₁，C₂没有公共点，由此求得t的取值范围．

解答：解：（1）曲线C₁的直角坐标方程是x²+y²=2，表示以原点（0，0）为圆心，半径等于

2

 的圆．
曲线C₂的普通方程是x=1(t+

1

2

≤y≤2t+

1

2

)，表示一条垂直于x轴的线段，包括端点． …（5分）
（2）结合图象，根据直线和圆的位置关系可得，当且仅当

t＞0 t+ 1 2 ＞1

或

t＞0 2t+ 1 2 ＜1

时，C₁，C₂没有公共点，
解得0＜t＜

1

4

或t＞

1

2

，即t的取值范围为 （0，

1

4

）∪（

1

2

，+∞）．…（10分）

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程、把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．