题目内容
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosAcosB+cosC=
sinAcosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且tan（A+
）=2cos2A，求A的大小．
| 3 |
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且tan（A+
| π |
| 4 |
分析：（1）利用两角和的余弦公式，将cosAcosB+cosC=
sinAcosB，变形为sinAsinB=
sinAcosB．求B．
（2）由tan（A+
）=2cos2A，得
=2（cos2A-sin2A），得出整体cosA-sinA=±
，cos（A+
）=±
，再结合△ABC为锐角三角形，确定A．
| 3 |
| 3 |
（2）由tan（A+
| π |
| 4 |
| tanA+1 |
| 1-tanA |
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）由已知得cosAcosB+cosC=
sinAcosB，
即cosAcosB+cos[π-（A+B）]=
sinAcosB．
cosAcosB-cos（A+B）=
sinAcosB．
所以sinAsinB=
sinAcosB，两边除以sinA，并移向得，tanB=
，∴B=
，
（2）由tan（A+
）=2cos2A，得
=2（cos2A-sin2A）
故
=2（cos2A-sin2A），
∴cosA-sinA=±
，cos（A+
）=±
，A+
=
或
，
所以A=
或
∵△ABC为锐角三角形，且B=
，
∴A∈（
，
），A=
．
| 3 |
即cosAcosB+cos[π-（A+B）]=
| 3 |
cosAcosB-cos（A+B）=
| 3 |
所以sinAsinB=
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）由tan（A+
| π |
| 4 |
| tanA+1 |
| 1-tanA |
故
| sinA+cosA |
| cosA-sinA |
∴cosA-sinA=±
| ||
| 2 |
| π |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
所以A=
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
∵△ABC为锐角三角形，且B=
| π |
| 3 |
∴A∈（
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
点评：本题考查三角函数公式的综合灵活应用，考查转化变形、计算能力．
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在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2-a2=
bc，且b=
a，则下列关系一定不成立的是（ ）
| 3 |
| 3 |
| A、a=c |
| B、b=c |
| C、2a=c |
| D、a2+b2=c2 |