题目内容
（2013•东城区二模）在数列{an}中，若对任意的n∈N*，都有
-
=t（t为常数），则称数列{an}为比等差数列，t称为比公差．现给出以下命题：
①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
②若数列{an}满足an=
，则数列{an}是比等差数列，且比公差t=
；
③若数列{cn}满足c1=1，c2=1，cn=cn-1+cn-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{anbn}是比等差数列．
其中所有真命题的序号是
| an+2 |
| an+1 |
| an+1 |
| an |
①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
②若数列{an}满足an=
| 2n-1 |
| n2 |
| 1 |
| 2 |
③若数列{cn}满足c1=1，c2=1，cn=cn-1+cn-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{anbn}是比等差数列．
其中所有真命题的序号是
①③
①③
．分析：①由等比数列的特点，代入可知满足新定义，若等差数列的公差d=0时满足题意，当d≠0时，不是比等差数列，可知正确；②代入新定义验证可知，不满足；③由递推公式计算数列的前4项，可得
-
≠
-
，故该数列不是比等差数列；④可举{an}为0列，则数列{anbn}为0列，显然不满足定义．
| c3 |
| c2 |
| c2 |
| c1 |
| c4 |
| c3 |
| c3 |
| c2 |
解答：解：①若数列{an}为等比数列，且公比为q，则
-
=q-q=0，为常数，故等比数列一定是比等差数列，
若数列{an}为等差数列，且公差为d，当d=0时，
-
=1-1=0，为常数，是比等差数列，
当d≠0时，
-
不为常数，故不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故正确；
②若数列{an}满足an=
，则
-
=
-
不为常数，故数列{an}不是比等差数列，故错误；
③若数列{cn}满足c1=1，c2=1，cn=cn-1+cn-2（n≥3），可得c3=2，c4=3，故
-
=1，
-
=-
，
显然
-
≠
-
，故该数列不是比等差数列，故正确；
④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，可举{an}为0列，则数列{anbn}为0列，显然不满足定义，即数列{anbn}不是比等差数列，故错误．
故答案为：①③
| an+2 |
| an+1 |
| an+1 |
| an |
若数列{an}为等差数列，且公差为d，当d=0时，
| an+2 |
| an+1 |
| an+1 |
| an |
当d≠0时，
| an+2 |
| an+1 |
| an+1 |
| an |
②若数列{an}满足an=
| 2n-1 |
| n2 |
| an+2 |
| an+1 |
| an+1 |
| an |
| 2(n+1)2 |
| (n+2)2 |
| 2n2 |
| (n+1)2 |
③若数列{cn}满足c1=1，c2=1，cn=cn-1+cn-2（n≥3），可得c3=2，c4=3，故
| c3 |
| c2 |
| c2 |
| c1 |
| c4 |
| c3 |
| c3 |
| c2 |
| 1 |
| 2 |
显然
| c3 |
| c2 |
| c2 |
| c1 |
| c4 |
| c3 |
| c3 |
| c2 |
④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，可举{an}为0列，则数列{anbn}为0列，显然不满足定义，即数列{anbn}不是比等差数列，故错误．
故答案为：①③
点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及等差数列和等比数列以及新定义，属基础题．
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