Question

已知函数f（x）=

2x+1

x+1

．
（I）用定义证明函数在区间[1，+∞）是增函数；
（II）求该函数在区间[2，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在区间[1，+∞）内任取两数x₁，x₂并规定好大小，再作差f（x₁）-f（x₂），根据增函数的定义判断即可；
（Ⅱ）又（1）可知f（x）=

2x+1

x+1

在区间[1，+∞）是增函数，从而在[2，4]上亦然为增函数，于是可求得函数在区间[2，4]上的最大值与最小值．

解答：（I）证明：任取1≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

2x1+1

x1+1

-

2x2+1

x2+1

=

(x1-x2)

(x1+1)•(x2+1)

，
∵1≤x₁＜x₂，故x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）=

2x+1

x+1

在区间[1，+∞）是增函数；
（II）由（I）知函数f（x）=

2x+1

x+1

在[2，4]上是增函数，
∴f（x）_max=f（4）=

2×4+1

4+1

=

9

5

，
f（x）_min=f（2）=

5

3

．

点评：本题考查函数单调性的性质，着重考查利用函数单调性的定义证明其单调性，属于中档题．