题目内容

在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足 $数学公式$ a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b= $数学公式$ ，c=2，求 $数学公式$ 的值．

解：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ a-2bsinA=0，
根据正弦定理得： $\text{[math]}$ sinA-2sinBsinA=0，…（3分）
∵sinA≠0，∴sinB= $\text{[math]}$ ，…（5分）
又B为锐角，
则B= $\text{[math]}$ ；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B= $\text{[math]}$ ，
∵b= $\text{[math]}$ ，c=2，
根据余弦定理得：7=a²+4-4acos $\text{[math]}$ ，…（8分）
整理得：a²-2a-3=0，由于a＞0，解得：a=3，…（10分）
∴cosA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，…（11分）
则 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cosA=cbcosA=2× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =1．…（13分）
分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，整理后根据sinA不为0，求出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）由B的度数求出cosB的值，再由b与c的值，利用余弦定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，再利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值，然后利用平面向量的数量积运算法则化简所求的式子后，将各自的值代入即可求出值．
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．