Question

已知函数f(x)=

-x3+x2+bx+c，x＜1 alnx，             x≥1

的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1）） 处的切线的斜率是-5．
（1）求实数b，c的值；
（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）当x＜1时，由f（x）=-x³+x²+bx+c，知f′（x）=-3x²+2x+b．依题意f′（-1）=-5，故b=0，再由f（0）=0，能求出c=0．
（2）当x＜1时，由f（x）=-x³+x²，知f′（x）=-3x²+2x，令f′（x）=0，得x=0，x=

2

3

．列表讨论，得f（-1）=2；f（0）=0；f（

2

3

）=

4

27

；f（1）=0．由此进行分类讨论，能求出f（x）在区间[-1，2]上的最大值．

解答：解：（1）当x＜1时，f（x）=-x³+x²+bx+c，
∴f′（x）=-3x²+2x+b．…（2分）
依题意f′（-1）=-5，
∴-3（-1）²+2（-1）+b=-5，∴b=0，
∴f（0）=0，∴c=0，
∴b=0，c=0．…（4分）
（2）当x＜1时，f（x）=-x³+x²，
f′（x）=-3x²+2x，令f′（x）=0，有-3x²+2x=0，∴x=0，x=

2

3

．…（6分）

x	-1	（-1，0）	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1）	1
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	2	↘		↗		↘

…（8分）
f（-1）=2；f（0）=0；f（

2

3

）=

4

27

；f（1）=0．
∴当x∈[-1，1）时，f（x）最大值为2．…（9分）
当x∈[1，2]时，
当a＜0时，f（x）是减函数；当a=0时，f（x）=0，此时f（x）_max=0；…（10分）
当a＞0时，f（x）是增函数，f（x）_max=f（2）=aln2．…（11分）
∵当a≤

2

ln2

时，有2≥aln2，f（x）_max=2，
当a＞

2

ln2

时，有2＜aln2，f（x）_max=aln2．…（12分）
∴f(x)max=

2，(a≤ 2 ln2 ) aln2，(a＞ 2 ln2 )

．…（13分）

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程的求法，具体涉及到导数的应用、函数的性质，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．易错点是分类不清导致出错．