Question

函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

（1）确定函数f（x）的解析式
（2）若函数f（x）在（-1，1）是单调递增函数，求解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析：（1）由题意，可先由函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数及f(

1

2

)=

2

5

求出a，b的值，由此可得函数的解析式；
（2）先由函数是奇函数，将不等式f（t-1）+f（t）＜0变为f（t-1）＜f（-t），再由函数f（x）在（-1，1）是单调递增函数，可将不等式等价转化为

t-1＜-t -1＜t-1＜1 -1＜-t＜1

，解之即可得到不等式的解集

解答：解：（1）依题意得

f(0)=0 f( 1 2 )= 2 5

即

b 1+02 =0 a 2 +b 1+ 1 4 = 2 5

解得

a=1 b=0

∴f(x)=

x

1+x2

（2）∵f（x）在（-1，1）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴f（t-1）＜-f（t）=f（-t）
∵f（x）在（-1，1）上是增函数
∴

t-1＜-t -1＜t-1＜1 -1＜-t＜1

，解得0＜t＜

1

2

∴不等式的解集为{t|0＜t＜

1

2

}

点评：本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，建立方程求参数，是函数性质考查的常见题型，也是高考的热点，本题考查了方程的思想与转化的思想，有一定的综合性