Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．
（Ⅰ）证明：AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明BC⊥平面PAC，可得BC⊥AD，再证明AD⊥PC，即可证明AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，利用线面平行的判定可知点Q即为所求，证明ACBQ为平行四边形，即可求出PQ的长．

解答：（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，…（1分）
又AC⊥BC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，
而AD?面PAC，所以BC⊥AD．…（3分）
由三视图得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，
所以AD⊥PC，
又BC⊥AD，PC∩BC=B，∴AD⊥平面PBC；     …（5分）
（Ⅱ）解：如图取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，点Q即为所求．   …（7分）
因为O为CQ中点，所以PQ∥OD，…（8分）
因为PQ?平面ABD，OD?平面ABD，所以PQ∥平面ABD…（10分）
连接AQ，BQ，四边形ACBQ的对角线互相平分，
所以ACBQ为平行四边形，所以AQ=4，…（11分）
又PA⊥平面ABC，所以在直角△PAQ中，PQ=

AP2+AQ2

=4

2

．   …13 分

点评：本题考查线面垂直的判定，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定，线面平行的判定定理是关键．