题目内容
过双曲线
(a＞0,b＞0)的一个焦点F作x轴的垂线,交双曲线的一支于P、Q两点,又过F作一直线平行于双曲线的一条渐近线,交双曲线于R,求证:|PQ|=4|FR|.
证明:设F点的坐标为(c,0),
将x=c代入双曲线方程
,
得
,
∴
.
过点F(c,0),且与双曲线的渐近线bx+ay=0平行的直线为
,
代入双曲线方程,得
.
解之得
,代入
,
得
,即
.
∴|FR|2=(x-c)2+y2=(
-c)2+
.
故
,∴|PQ|=4|FR|.
启示:欲证|PQ|等于4|FR|,只需用双曲线的基本量a、b表示它们.
练习册系列答案
相关题目
(a＞0,b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为________.
(a>0, b>0)的右焦点F作圆
的切线FM(切点为M), 交y轴于点P. 若M为线段FP的中点,
则双曲线的离心率是 （
）
B.
C.2 D.
(a>0, b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线
上，则双曲线的离心率为________________.
(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线
上，则双曲线的离心率为
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(a>0,b>0)的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM=ME, 则该双曲线的离心率为（
）
D.