题目内容

已知向量 $数学公式$ 与向量 $数学公式$ 的对应关系可用 $数学公式$ 表示．
（1）设 $数学公式$ ，求向量 $数学公式$ 的坐标；
（2）证明：对于任意向量 $数学公式$ 及常数m、n，恒有 $数学公式$ 成立；
（3）求使 $数学公式$ 成立的向量 $数学公式$ ．

解：（1）f（ $\text{[math]}$ ）=（1，2-1）=（1，1），f（ $\text{[math]}$ ）=（0，2×0-1）=（0，-1），
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）设 $\text{[math]}$ ，∴m $\text{[math]}$ +n $\text{[math]}$ =（mx₁+nx₂，my₁+ny₂ ），
∴f（m $\text{[math]}$ +n $\text{[math]}$ ）=（ my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂ ），
∴mf（ $\text{[math]}$ ）+nf（ $\text{[math]}$ ）=m（y₁，2y₁-x₁ ）+n（y₂，2y₂-x₂ ）=（ my₁+ny₂，2my₁+2ny₂-mx₁-nx₂ ），
∴对于任意向量 $\text{[math]}$ 及常数m、n， $\text{[math]}$ 成立．
（3）设 $\text{[math]}$ =（x，y），则 f（ $\text{[math]}$ ）=（y，2y-x），∴ $\text{[math]}$ ，
∴x=1，y=3，∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）直接利用题中的对应关系求出 f（ $\text{[math]}$ ）=（1，2-1）=（1，1），f（ $\text{[math]}$ ）=（0，2×0-1）=（0，-1），
（2）设出任意向量 $\text{[math]}$ 的坐标，分别计算要证等式的左边的右边，比较计算结果可得等式成立．
（3）设 $\text{[math]}$ =（x，y），则 f（ $\text{[math]}$ ）=（y，2y-x），∴ $\text{[math]}$ ，解方程可求向量 $\text{[math]}$ 的坐标．
点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，以及用待定系数法求向量的坐标．