Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且 2a₁+3a₂=1，

a

2 3

=9a₂a₆．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设 b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求{

1

bn

}的前n项和T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求使 

kn•2n+1

n+1

≥（7-2n）T_n恒成立的实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先根据2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆求出等比数列的通项；
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项，利用裂项法求和即可得到求{

1

bn

}的前n项和T_n；
（Ⅲ）把 

kn•2n+1

n+1

≥（7-2n）T_n恒成立转化为k≥

2n-7

2n

恒成立，求出不等式右边的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，由

a

2 3

=9a₂a₆得

a

2 3

=9a42
所以q²=

1

9

．
由条件可知q＞0，故q=

1

3

．
由2a₁+3a₂=1得2a₁+3a₁q=1，所以a₁=

1

3

．
故数列{a_n}的通项式为a_n=

1

3n

；
（Ⅱ）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-（1+2+…+n）=-

n(n+1)

2

∴

1

bn

=-2（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=-2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=-

2n

n+1

；
（Ⅲ） 

kn•2n+1

n+1

≥（7-2n）T_n等价于

kn•2n+1

n+1

≥(7-2n)•(-

2n

n+1

)
化简得k≥

2n-7

2n

恒成立
设d_n=

2n-7

2n

，则d_n+1-d_n=

2(n+1)-7

2n+1

-

2n-7

2n

=

9-2n

2n

．
当n≥5，d_n+1≤d_n，{d_n}为单调递减数列，1≤n＜5，d_n+1＞d_n，{d_n}为单调递增数列
当n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}为单调递减数列，当1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列
∵

1

16

=d₄＜d₅=

3

32

，∴n=5时，d_n取得最大值为

3

32

∴使

kn•2n+1

n+1

≥（7-2n）T_n（n∈N^*）恒成立的实数k≥

3

32

点评：本题考查数列与不等式的综合以及数列求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题目．