Question

已知数列{a_n}满足an+1=

1

2-an

，a₁=0．
（1）计算a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）根据以上计算结果猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

1

2-an

和a₁=0，代入计算，可求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）猜想{a_n}的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即ak=

k-1

k

成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．

解答：解：（1）由an+1=

1

2-an

和a₁=0，得a2=

1

2-0

=

1

2

，a3=

1

2- 1 2

=

2

3

，a4=

1

2- 2 3

=

3

4

，a5=

1

2- 3 4

=

4

5

．（4分）
（2）由以上结果猜测：an=

n-1

n

（6分）
用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当n=1时，左边=a₁=0，右边=

1-1

1

=0，等式成立．（8分）
（Ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即ak=

k-1

k

成立．
那么，当n=k+1时，ak+1=

1

2-ak

=

1

2- k-1 k

=

k

k+1

=

(k+1)-1

k+1

这就是说，当n=k+1时等式成立．
由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测an=

n-1

n

对于任意正整数n都成立．（12分）

点评：本题考查数列的通项，考查归纳猜想，考查数学归纳法的运用，属于中档题．