题目内容
（2012•朝阳区一模）已知函数f(x)=cos(x-
)．
（Ⅰ）若f(α)=
，求sin2α的值；
（II）设g(x)=f(x)•f(x+
)，求函数g（x）在区间[-
，
]上的最大值和最小值．
| π |
| 4 |
（Ⅰ）若f(α)=
7
| ||
| 10 |
（II）设g(x)=f(x)•f(x+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
分析：（I）根据函数f（x）表达式，结合两角差的余弦公式化简整理，得cosα+sinα=
．再将两边平方，结合同角三角函数平方关系和二倍角的正弦公式，可得sin2α的值；
（II）将f（x）表达式代入，利用两角和与差的余弦公式展开，并用二倍角的余弦公式化简整理，得g（x）=
cos2x．最后结合余弦函数的图象与性质，可得到函数g（x）在区间[-
，
]上的最大值和最小值．
| 7 |
| 5 |
（II）将f（x）表达式代入，利用两角和与差的余弦公式展开，并用二倍角的余弦公式化简整理，得g（x）=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）∵f(α)=cos(α-
)=
，
∴
(cosα+sinα)=
，得 cosα+sinα=
．
两边平方得，sin2α+2sinαcosα+cos2α=
，
即1+sin2α=
，可得sin2α=
．…（6分）
（II）g(x)=f(x)•f(x+
)=cos(x-
)•cos(x+
)
=
(cosx+sinx)•
(cosx-sinx)
=
(cos2x-sin2x)=
cos2x．…（10分）
当x∈[-
，
]时，2x∈[-
，
]．
所以，当x=0时，g（x）的最大值为
；当x=
时，g（x）的最小值为-
．
即函数g（x）在区间[-
，
]上的最大值为g（0）=
，最小值为g（
）=-
．…（13分）
| π |
| 4 |
7
| ||
| 10 |
∴
| ||
| 2 |
7
| ||
| 10 |
| 7 |
| 5 |
两边平方得，sin2α+2sinαcosα+cos2α=
| 49 |
| 25 |
即1+sin2α=
| 49 |
| 25 |
| 24 |
| 25 |
（II）g(x)=f(x)•f(x+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当x∈[-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
所以，当x=0时，g（x）的最大值为
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
即函数g（x）在区间[-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
点评：本题给出三角函数表达式，要求我们将另一个函数化简后求它的最大最小值，着重考查了同角三角函数基本关系、两角和与差的余弦公式和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．
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