Question

给出下列四个命题：
①存在实数α，使sinα•cosα=1；
②f(x)=-2cos(

7π

2

-2x)是奇函数；
③x=-

3π

8

是函数y=3sin(2x-

3

4

π)的图象的一条对称轴；
④函数y=cos（sinx）的值域为[0，cos1]．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：由sinα•cosα=

1

2

sin2α，然后根据三角函数值域，可判断①的真假；根据三角函数的对称性，易得到f(x)=-2cos(

7π

2

-2x)的图象关于原点对称，根据奇偶性的定义易判断②的真假；将x=-

3π

8

代入，根据函数对称性，易判断③的正误；根据正弦函数的值域，及余弦函数的单调性易判断④的对错．

解答：解：①中，∵sinα•cosα=

1

2

sin2α∈[-

1

2

，

1

2

]
故存在实数α，使sinα•cosα=1为假命题；
②中，由三角函数的对称性，我们易得（kπ，0）（k∈Z）点为函数图象的对称中心
当k=0时，（0，0）点为函数f(x)=-2cos(

7π

2

-2x)的对称中心
故函数f(x)=-2cos(

7π

2

-2x)是奇函数为真命题；
③中，当x=-

3π

8

时，2x-

3π

4

=-

3π

2

，此时2x-

3π

4

的终边落在Y轴上，
函数y=3sin(2x-

3

4

π)取最值，故x=-

3π

8

是函数y=3sin(2x-

3

4

π)的图象的一条对称轴是正确的，
④中，∵sinx∈[-1，1]，故函数y=cos（sinx）的值域为[cos1，1]，故④错误；
故答案：②、③．

点评：本题考查的知识点是三角函数的值域，三角函数的对称性，及命题真假的判断．其中正弦（余弦）函数的对称性可归纳为：若x=a时，函数取最值，则直线x=a为函数图象的对称轴，若x=a时，函数值为0，则（a，0）点为函数图象的对称中心．