题目内容
已知抛物线y2=2px(p>0)与一个定点M(p,p),则抛物线上与M点的距离最小的点为（ ）A.(0,0) B.(
,p)
C.(
,
p) D.(
,
p)
分析：本题考查利用函数的导数求解函数的最值.首先建立关于距离的目标函数关系式,然后合理地选取变量,通过求导数的方法求与最值有关的问题.本题也可以用解析几何中数形结合法求解.
解：设抛物线上的任意点(x,y)到点M的距离为d,
则有d2=(p-x)2+(p-y)2=(p-)2+(p-y)2.所以(d2)′=2(p-)(-)+2(p-y)(-1)=-2p.
令(d2)′y=0,即-2p=0,解得y=
.这是函数在定义域内的唯一极值点,所以必是最值点.
代入抛物线方程得x=
=
=
.
所以点(
,
p)为所求的点.
答案：D
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