Question

【题目】已知函数， .

（1）若直线是曲线与曲线的公切线，求；

（2）设，若有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】试题分析：（1）设直线与切于点，与切于， 处的切线方程为. 处的切线方程为.根据

这两条直线为同一条直线，可得关于和，解得和的值，从而可得结果；（2）， ，显然在上为减函数，存在一个，使得，且时， ， 时， 为的极大值点，只需求恒成立即可得结果.

试题解析：对函数求导，得，对函数求导，得。

设直线与切于点，与切于.

则在点处的切线方程为： ，即.

在点处的切线方程为： ，即.

这两条直线为同一条直线，所以有

由（1）有，代入（2）中，有

，则或.

当时，切线方程为，所以,

当时，切线方程为，所以.

（2）。求导： ，

显然在上为减函数，存在一个，使得，

且时， ， 时， ，

所以为的极大值点。

由题意，则要求.

由，有，所以，

故.

令，且。

， 在上为增函数，又，

要求，则要求，又在上为增函数，

所以由，得。

综上，