Question

已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足g（x）≠0，f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）f（x）=a^x•g（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

．令an=

f(n)

g(n)

，则使数列{a_n}的前n项和S_n不超过

15

16

的最大自然数n的值为

4

．

Answer 1

分析：分别令x等于1和x等于-1代入①得到两个关系式，把两个关系式代入②得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根据f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）可知函数

f(x)

g(x)

=ax是减函数，对求得的a进行取舍，求出数列{a_n}的通项公式，进而求得其前n项和S_n，解不等式S_n≤

15

16

即可求得结果．

解答：解：解：令x=1，由①得到f（1）=a•g（1）；令x=-1，f（-1）=

g(-1)

a

，
分别代入②得：a+

1

a

=

5

2

，化简得2a²-5a+2=0，
即（2a-1）（a-2）=0，
解得a=2或a=

1

2

．
∵f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），
∴(

f(x)

g(x)

)′＜0，
∴

f(x)

g(x)

=ax是减函数，故a=

1

2

，
∴an=

f(n)

g(n)

=

1

2n

，
∴S_n=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-

1

2n

，
由1-

1

2n

≤

15

16

，得n≤4，
∴最大自然数n的值为 4
故答案为：4

点评：此题考查学生会利用有理数指数幂公式化简求值，利用导数研究函数的单调性，等比数列求和等知识，综合性强，根据已知求出

f(x)

g(x)

=ax的单调性是解题的关键，考查运算能力和应用知识分析解决问题的能力，属中档题．