Question

已知f(x)=2cos

x

2

(sin

x

2

+cos

x

2

)
（1）求出f（x）的单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）=a在x∈[0，2π]上有且仅有一个根，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由三角函数恒等挛，把f(x)=2cos

x

2

(sin

x

2

+cos

x

2

)等价转化为f（x）=

2

sin(x+

π

4

)+1，由此能求出f（x）的单调增区间．
（2）由f（x）在[0，2π]上的图象分析知，能求出a的值．

解答：（本小题12分）
解：（1）f(x)=2cos

x

2

(sin

x

2

+cos

x

2

)
=2cos

x

2

sin

x

2

+2cos²

x

2

=sinx+cosx+1=

2

sin(x+

π

4

)+1，…（2分）
令2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈∈Z，
得f（x）的单调增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈Z．…（6分）
（2）∵f（x）=

2

sin(x+

π

4

)+1，
关于x的方程f（x）=a在x∈[0，2π]上有且仅有一个根，
∴由f（x）在[0，2π]上的图象分析知
当x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

4

时，a=

2

+1，…（9分）
或当x+

π

4

=

3π

2

，即x=

5π

4

时，a=1-

2

．
综上a=1±

2

．…（12分）

点评：本题考查三角函数的恒等变换的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．